Vorkurs Mathe

Sep 1, 2026

Sooo Jungs und Mädels und alle dazwischen und außerhalb – der Semesterstart steht vor der Tür. Und weil ich im letzten Jahr gemerkt habe, wie wichtig es für mich ist viel mitzuschreiben muss der neue Stoff alles irgendwo hin.

Dieses »irgendwo« ist übrigens hier. Im folgenden seht ihr einmal meine kurze Übersicht über die Inhalte des Vorkurses Mathematik für MINT und einige Definitionen und Notizen, die ich mir aus diesem Kurs mitgenommen habe.

Inahlte

Einheit 01

• Teiler und Vielfache (aka. $ggT$ und $kgV$)
• Vereinfachen von
  • Termen
  • Doppelbrüchen
  • Potenz- und Wurzelgesetze

Einheit 02

• Logarithmus
• Mengenlehre am Zahlenstrahl
  • Vereinigung
  • Schnitt
  • Differenz
  • Komplement

Einheit 03

• Kurvendiskussion an gegebenen Graphen
  • Definitions- und Wertebereich
  • Achsenschnittpunkte
  • Beschränktheit
  • Monotonie
  • Symmetrie
  • Verhalten im Unendlichen
• Kurvendiskussion an Graphen von gegebenen Funktionsgleichungen
• Umkehrfunktionen
• Gerade/ungerade Funktionen

Einheit 04

• Kurvendiskussion an Logarithmusfunktionen
• Polstellen

Einheit 05

• Winkel konvertieren Gradmaß <=> Bogenmaß
• Winkelfunktionen
  • vereinfachen
  • bestimmen am Einheitskreis
  • ablesen & plotten

💬 GeoGebra Sheet zum Einheitskreis

Einheit 06

• Funktionen lösen
  • Polynomfunktionen & Substitution
  • Gebrochene Funktionen
  • Ungleichungen

Einheit 07

• Lösungsverfahren
  • Exponentialgleichungen/-ungleichungen
  • Logarithmusgleichungen/-ungleichungen
  • Wurzelgleichungen/-ungleichungen
  • Betragsgleichungen/-ungleichungen

Einheit 08

• Ableitungen
  • Kettenregel
  • Produktregel
  • Quotientenregel
  • Tangentengleichung
  • Winkel an Tangentenpunkt
• Kurvendiskussion
  • Art & Lage lokaler Extremstellen
  • Wendepunkte

Einheit 09

• Integration (bestimmt & unbestimmt)
  • Integral der Summe
  • Integral des Vielfachen
  • Partielle Integration
  • Lineare Substitution

Einheit 10

• Lineare Gleichungssysteme
  • Lösen durch einsetzen
  • Gauß’sches Lösungsverfahren
• Geometrie im Raum
  • Vektoren ablesen & rechnerisch besitmmen
  • Winkel & Skalarprodukt
  • Vektorprodukt
  • Normierte Vektoren

Definitionen

Euklidischer Algorithmus/ ggT und kgV

Es seien $a,b\in\mathbb{N}$. Dann gelten

1. $a\cdot b=ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)$,
2. $ggT(a,b)=ggT(a\mod b, b)$, und
3. $ggT(a,b)=ggT(a-b, b)$ falls $a\ge b$.

Monotonie

Sei $I=[a,b]$ ein Intervall auf den reellen Zahlen und $f:I\to\mathbb{R}$ eine auf $I$ definierte Funktion. Man spricht von davon, das $f$

• streng monoton fallend ist, falls $f'(x)<0$,
• monoton fallend ist, falls $f'(x)\le0$,
• monoton wachsend ist, falls $f'(x)\ge0$, oder
• streng monoton wachsend ist, falls $f'(x)>0$

wobei jeweils $x\in I$ gilt.

Beschränktheit einer Funktion

Eine beliebige Funktion $f:I\to\mathbb{R}$ heißt beschränkt genau dann, wenn ein $M>0$ existiert und die Eigenschaft $|f(x)|\le M$ erfüllt. Die Eigenschaft muss für alle $x\in I$ erfüllt sein.

Symmetrie

Sei $f:I\to\mathbb{R}$ eine beliebige Funktion, dann kann der Graph von $f$

• Achsensymmetrisch zur y-Achse sein, falls gilt $f(-x)=f(x)$, oder
• Punktsymmetrisch zum Ursprung, falls gilt $f(-x)=-f(x)$.

In beiden Fällen muss $-x,x\in I$ gelten.

Gerade/ungerade Funktionen

Sei $f:I\to\mathbb{R}$ eine beliebige Funktion, dann heißt $f$:

• gerade für alle $x\in I$, falls gilt $f(x)=f(-x)$, oder
• ungerade für alle $x\in I$, falls gilt $f(x)=-f(-x)$.

Trigonometrischer Pythagoras

Sei $\alpha$ der Winkel am Ursprung des Einheitskreises, dann gilt die Identität $\sin\alpha^2+\cos\alpha^2=1.$

$$ \frac b{2\pi}=\frac\alpha{360°} $$

Dreisatz Bogenmaß/Gradmaß

Sei $b$ der Winkel repräsentiert im Bogenmaß und $\alpha$ der Winkel repräsentiert im Gradmaß.

Sinussatz für Nebenwinkel

Sei $\theta$ ein beliebiger Winkel $\le 180°$, dann gilt die Identität $\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$.

Ableitungsregeln

Seien $f,g:I\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_0\in I$. Dann gelten

• $fg$ differenzierbar in $x_0$: $$ (fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0), $$
• $\frac fg$ differenzierbar in $x_0$: $$ \left(\frac fg\right)^,(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}, $$
• $g\circ f(x_0):I\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_0$: $$ (g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0) $$ insbesondere, falls $f:I\to\mathbb{R}$ und $g:J\to\mathbb{R}$, so dass $f(I)\subset J$.

Integrationsregeln

Seien $f,g:I\to\mathbb{R}$ integrierbare Funktionen, dann gilt nach der

• Potenzregel: $\int x^ndx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$,
• Faktorregel: $\int c\cdot f(x)dx=c\cdot\int f(x)dx$,
• Summenregel: $\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$,
• partielle Integration: $\int(f(x)\cdot g'(x))=f(x)g(x)-\int f'(x)-g(x)$,
• Integration durch Substitution: $\int_a^b f(g(x))dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)dy$.

Skalarprodukt

Seien $a,b\in\mathbb{R^n}$ zwei Vektoren, dann ist das Skalarprodukt $a\cdot b$ die reelle Zahl

$$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n.$$

Schließen die beiden Vektoren einen Winkel $\varphi$ ein, so gilt $a\cdot b=|a||b|\cos\varphi$.

Vektorprodukt

Seien $a,b\in\mathbb{R^3}$ zwei Vektoren, dann ist das Vektorprodukt $a\times b$ ein Vektor $v\in\mathbb{R^3}$ mit

$$ v=a\times b= \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\\ a_3b_1 - a_1b_3 \\\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}. $$

Der Vektor $|a\times b|$ steht orthogonal zu $a$ und $b$. Schließen beiide Vektoren einen Winkel $\varphi$ ein, so gilt $|a\times b|=|a||b|\sin\varphi$.

Normierte Vektoren

Sei $a\ne\mathbf{0}\in\mathbb{R^n}$, dann kann dieser Vektor zum Einheitsvektor $\hat a$ transformiert werden, der in die selbe Richtung wie $a$ zeigt. Dabei ist $\hat a$ definiert als

$$ \hat a = \frac{a}{|a|}. $$