Woche 04, Mengenlehre

Oct 26, 2026

Mengen bilden, zusammen mit der Aussagenlogik, das absolute Fundament der Mathematik wie wir sie heute kennen und in der gesammten Wissenschaft anwenden.

1.4 Mengen

Unter Mengen verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. So oder ähnlich hat Georg Cantor im Jahre 1895 den Begriff einer Menge definiert.

Ein Konstrukt das so fundamental ist, dass quasi “ex nihilo” erschaffen werden musste. Streng genommen müssten Mengen auch vor Logik eingeführt werden, weil die ersten Dinge über die Aussagen getroffen werden müssen sind letztendlich Mengen.

Eine Menge $A=\{1,3,5,7,9\}$ ist eine Aufzählung von allen einstelligen ungeraden natürlichen Zahlen,
Eine Menge $A=\{n\in\mathbb{N}\mid n=2k-1,k\in\mathbb{N}\}$ legt durch eine Eigenschaft/Bildungsvorschrift fest welche Elemente enthalten sind,
Eine Menge $A=\{1,3,5,7,\dots\}$ ist eine unendliche Aufzählung, aber leider sehr ungenau weil die Bildungsvorschrift nicht immer erkennbar ist.

Bei Mengen ist die Anordnung von Elementen grundsätzlich uninteressant. Außerdem werden Elemente die mehrmals auftreten als “eins” gewertet:

$$ \{1,1,1,1,2,3\}=\{1,2,3\} $$

Bezeichnungen

Mengen werden grundsätzlich mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet
Elemente in Menge werden grundsätzlich mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet
Element in Menge: $a\in M$
Element nicht in Menge: $a\not\in M$
Teilmenge: $N\subseteq M$ falls $\forall n\in N:n\in M$

Operationen

Vereinigung: $M\cup N:=\{x\mid x\in M\lor x\in N\}$,
Allgemeine Vereinigung: $\bigcup_{i=1}^nA_i=A_1\cup A_2\cup\dots$,
Schnittmenge: $M\cap N:=\{x\mid x\in M \land x\in N\}$,
Allgemeine Schnittmenge: $\bigcap_{i=1}^nA_i=A_1\cap A_2\cap\dots$,
Differenz: $M\setminus N:=\{x\in M\land x\not\in N\}$,
Symmetrische Differenz: $M\triangle N:=(M\setminus N)\cup(N\setminus M)$.

Mengengleichheit

Sind $M,N$ zwei beliebige Mengen, beschreiben wir die Mengen als gleich falls gilt

$$ M\subseteq N\land N\subseteq M\quad\Longleftrightarrow\quad M=N. $$

Leere Menge

Die Leere Menge bezeichnen wir mit dem Symbol $\varnothing$. Für die Leere Menge gelten folgende Annahmen:

$\varnothing\in M$ für jede beliebige Menge $M$,
$\varnothing\ne\{\varnothing\}$.

Un-/Geordnete Paare

$\{x,y\}$ ist die Menge, die genau $x$ und $y$ enthält. Diese Menge bezeichnen wir als ungeordnetes Paar. Da es sich um eine Menge handelt, spielt die Ordnung der Elemente keine Rolle.

$(x,y)$ bezeichnen wir als Tupel von $x$ und $y$, aka. geordnetes Paar. Hier spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle. ($(x,y)=(z,t)\Rightarrow x=t\land y=t$)

Geordnete Paare können wurde Mengen dargestellt werden: $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$

Spezielle Mengen

$\mathbb{N}$ natürliche Zahlen (1-indiziert)
$\mathbb{N}_0$ natürliche Zahlen (0-indiziert)
$\mathbb{Z}$ ganze Zahlen
$\mathbb{Z}_n=\{0,1,\dots,n-1\}$
$[n]=\{1,2,\dots,n\}$
$\mathbb{Q}$ rationale Zahlen
$\mathbb{R}$ reelle Zahlen
$\mathbb{C}$ komplexe Zahlen

Kardinalität

Die Kardinalität einer Menge $M$ gibt die Anzahl der Elemente in der Menge an. Wie schreiben $|M|$. $|\{1,2,3,3,4,6\}|=5$

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt ist eine zwei- oder mehrstellige Operation die Tupel über alle möglichen Kombinationen aus den Mengen produziert.

$$ \begin{align*} M&=\{1,2\} \\ N&=\{2,3\} \\ M\times N&=\{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\} \end{align*} $$

Verallgemeinert kann das kartesische Produkt auch geschrieben werden als: $\text{X}_{i=1}^nA_i=A_1\times A_2\times\dots$.

Komplementäre Menge

Für $N\subset M$ heißt das Komplement von N auf der Menge M $\bar N=N^C:=M\setminus N$.

Satz 1.15 De Morgan’sche Regeln

Sind $A,B$ Teilmengen einer Menge $M$, so gelten für die Komplemente die de Motgan’schen Regeln

$\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B$,
$\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$.

Um die de Morgan’schen Regeln zu beweisen, beziehen wir uns darauf was es für zwei Mengen heißt gleich zu sein. Wir müssen also einen Teilbeweis für $\subseteq$ und $\supseteq$ führe.

Beweis zu 1

zu Zeigen: $\overline{A\cup B}\subseteq \bar A\cap\bar B$, also $\forall x\in\overline{A\cup B}:x\in\bar A\cap\bar B$. Sei dazu $x\in\overline{A\cup B}$ beliebig:

$$ \begin{align*} \Rightarrow x\not\in A\cup B &\Rightarrow x\not\in A\land x\not\in B \\ &\Rightarrow x\in\bar A\land x\in\bar B \\ &\Rightarrow x\in\bar A\cap\bar B \end{align*} $$

Jetzt müssen wir noch die Teilmenge in die andere Richtung einmal zeigen: $\overline{A\cup B}\supseteq \bar A\cap\bar B$. Sei dazu $x\in\bar A\cap\bar B$ wieder beliebig:

$$ \begin{align*} \Rightarrow x\in\bar A\land x\in\bar B &\Rightarrow x\not\in A\land x\not\in B \\ &\Rightarrow x\not\in A\cup B \\ &\Rightarrow x\in\bar{A\cup B}\qquad\text{何} \end{align*} $$

Beweis zu 2: Der Beweis zur zweiten de Morgan’schen Regel kann analog zur ersten bewiesen werden.

Satz 1.16: Rechenregeln für Mengen

Für Mengen gilt eine Art des Kommutativgesetzes:

$A\cup B=B\cup A$,
$A\cap B=B\cap A$.

Für Mengen gilt eine Art des Assoziativgesetzes:

$A\cap(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$,
$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.

Für Mengen gilt eine Art des Distributivgesetzes:

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$,
$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Beweis zu 1:

$$ \begin{align*} A\cup B&=\{x\in M\mid x\in A\land x\in B\} \\ &=\{x\in M\mid x\in B\land x\in A\}=B\cup A\qquad\square \end{align*} $$

Beweis zu 3:

$$ \begin{align*} (A\cup B)\cup C&=\{x\in M\mid x\in A\cup B\lor x\in C\} \\ &=\{x\in M\mid x\in A\lor x\in B\lor x\in C\} \\ &=\{x\in M\mid x\in A\lor x\in B\cup C\} = A\cup(B\cup C)\qquad\text{何} \end{align*} $$

Beweis zu 5: zu zeigen $A\cup(B\cap C)\subset (A\cup B)\cap(A\cup C)$. Sei $x\in A\cup(B\cap C)$

$\Rightarrow x\in A\dot\cup x\in(B\cap C)$

1. Fall: $x\in A$

$$ \begin{align*} &\Rightarrow x\in A\cup B\land x\in A\cup C \\ &\Rightarrow x\in(A\cup B)\cap(c\in A\cup C) \end{align*} $$

2. Fall: $x\in B\cap C$

$$ \begin{align*} &\Rightarrow x\in B \land x\in C \\ &\Rightarrow x\in B\cup A\land x\in C\cup A \\ &\Rightarrow x\in(B\cup A)\cap(C\cup A) \\ &\Rightarrow x\in(A\cup B)\cap(A\cup C) \end{align*} $$

zu zeigen $A\cup(B\cap C)\supset (A\cup B)\cap(A\cup C)$. Sei $x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$

$$ \begin{align*} &\Rightarrow A\subseteq A\cup A\land A\subset A\cup C \\ &\Rightarrow x\in A\cup B\land x\in A\cup C \\ &\Rightarrow x\in A\dot\cup x\in B\cap C\Rightarrow x\in A\cup(B\cap C)\qquad\text{口} \end{align*} $$

Spezielle Bezeichnungen

Disjunkte Vereinigung: Vereinigung von zwei Mengen $A,B$ die disjunkt sind, also einen leeren Schnitt bilden:

$$ A\dot\cup B:=\{x\in A\cup B\mid A\cap B=\varnothing\}. $$

Partition: Zerlegung einer Menge in nicht leere und paarweise disjunkte Teilmengen:

$$ A=\dot\bigcup_{1\le i\le n}A_i=A_1\dot\cup A_2\cup\dots\cup A_n. $$

Mengensystem: Menge $\mathcal{M}$ von Teilmengen einer beliebigen Menge $A$. Wir sprechen auch $\mathcal{M}$ ist eine Mengensystem über $A$.

Last edited: 27.10.2026