So langsam kommen wir an dem Punkt an, mit dem man in der Schule gefühlt die gesamten letzten vier oder fünf Jahre verbracht hat: Funktionen.
Eine Funktion (oder auch Abbildung genannt) ist eine Vorschrift $f$, die jedem Element einer Menge $A$ genau ein Element einer Menge $B$ zuordnet. In dieser Veranstaltung unterscheiden wir diese Begriffe apparently nicht.
$A$ nennen wir dabei den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich. Wir schreiben
$$ \begin{align*} f:A&\to B \\ x&\mapsto y = f(x) \end{align*} $$
flowchart LR
subgraph A
a((a))
x((x))
o((o))
end
subgraph B
b((b))
y((y))
t((t))
end
a --> b
x --> b
o --> y
Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $f\subseteq A\times B$ für die gilt
$$ \forall x\in A:|\{y\in B\mid (x,y)\in f\}|=1 $$Sei $f$ eine Abbildung.
Als Urbild eines Elementes unter $f$ bezeichnen wir $f^{-1}(y)=\{x\in A\mid f(x)=y\}$.
Als Urbild einer Menge $B'\subseteq B$ unter $f$ bezeichnen wir $f^{-1}(B')=\{x\in A\mid f(x)\in B'\}$.
Als Bild einer Menge $A'\subseteq A$ unter $F$ bezeichnen wir $f(A')=\{f(x)\mid x\in A\}=\bigcup_{x\in A'}f(x)$.
Sei $f:A\to B$ eine Abbildung, dann heißt diese
Beispiel 1: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; x\mapsto x^2$
Beispiel 2: $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+; x\mapsto x^2$