Woche 2, Aussagenlogik

Oct 17, 2026

Wir fangen mit den eigentlichen Mudulinhalten an und steigen ein in Aussagenlosik. Dieses Thema ist grundlegend um mathematische Aussagen zu formulieren und zu verknüpfen. Die verknüpften Aussagen können zum Beispiel später bewiesen werden.

Streng genommen ist also die Aussagenlogik das absolute Urgestein der Mathematik auf dem alles andere aufbaut.

1.2 Grundbegriffe der Aussagenlogik

Die Aussagenlogik ist das Urgestein: das heißt aber auch, dass noch nichts existiert womit wir Aussagen oder Logik genau definieren können. Zuerst sollten wir uns also Gedanken machen, was eine Aussage überhaupt ist. Wirklich präzise definieren können wir das nicht, weil wir dafür schon ein tieferes Verständnis von Mathe bräuchten. Außerdem ist das ein Thema womit sich ganze Bücher und eigene Vorlesungen außeinandersetzen.

Wir begnügen uns also mit einer umgangsprachlichen Definition, die auf reine Sprache setzt um den Begriff der Aussage zu definieren.

Umgangssprachliche Definition

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde von dem wir sinnvoll sagen können, ob es wahr oder falsch ist.

Beispiele

• Cottbus hat zwei Universitäten: wahr (B-TU, MUL-CT)
• Ich fahre einen Dienstferrari: offensichtlich falsch, bin ja Student
• Der Wal ist ein Fisch: ..tja 🤷‍♂️, Kontext goes brrr

Definition 1.9: Syntax der Aussagenlogik

$A_i$ mit $i=1,2,\dots$ sind atomare Formeln, also Formeln die sich nicht weiter zerlegen lassen und werden induktiv definiert durch:

1. Atomare Formeln sind Formeln,
2. Sind A und B Formeln, sind auch $(A\land B)$ und $(A\lor) B$ Formeln, und
3. Ist A eine Formel, ist auch $(\lnot A)$ eine Formel.
4. Ist A eine Formel und Teil der Formel B, nenne man A Teilformel von B.

Anmerkung: Die Begriffe “Aussage” und “Formel” bezeichnen in diesem Kapitel den gleichen Gegenstand.

Logische Operatoren

Anmerkung: w/wahr wird häufig mit 1 und f/falsch mit 0 ersetzt.

Der und/$\land$-Operator zerknüpft zwei Aussagen und wird genau dann wahr, wenn beide aussagen wahr sind.

A	B	A $\land$ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Der oder/$\lor$-Operator verknüpft zwei Aussagen und wird wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist.

A	B	A $\lor$ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Der “exklusive oder”/$\dot\lor$-Operator verknüpft zwei Aussagen und und wird wahr, wenn genau eine Aussage wahr ist.

A	B	A $\dot\lor$ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Der Implikations/$\Rightarrow$-Operator verknüpft zwei Aussagen und wird falsch genau dann, wenn A wahr und B falsch ist.

A	B	A $\Rightarrow$ B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Der Äquivalenz/$\Leftrightarrow$-Operator verknüpft zwei Aussagen und wird wahr genau dann, wenn beide Aussagen übereinstimmen.

A	B	A $\Leftrightarrow$ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Der Negations/$\lnot$-Operator verneint den Wahrheitswert von A.

A	$\lnot$A
0	1
1	0

Beweisansätze

Beweistechniken gibt es unzählige, hier folgt nur eine kleine Auswahl von Beweisen die wir am Anfang häufig benutzen werden.

Direkter Beweis

• Idee: folgere anhand von Implikationen und Äquivalenzen von einer Aussage zur nächsten
• Beispiel: zeige, dass für alle $x$ aus den reellen Zahlen ($\forall x\in\mathbb{R}$) gilt: $(x^2-5x+6)\Leftrightarrow(x\in\{2,3\})$. I.e. zeige, dass die gegebene Gleichung für jedes beliebige x nur zwei Nullstellen in $\mathbb{R}$ hat.

“$\Rightarrow$” wir beginnen mit der Richtung $(x^2-5x+6)\Rightarrow(x\in\{2,3\})$:

$$ \begin{align*} 0&=x^2-5x+6\mid\text{3. BF} \\ &=(x-2)(x-3) \\ &\Leftrightarrow\, x=2\lor x=3 \\ &\Rightarrow x\in\{2,3\} \end{align*} $$

“$\Leftarrow$” sei $x\in\{2,3\}$

$$ \begin{align*} x=2\lor x=3&\Leftrightarrow (x-2=0)\lor(x-3=0) \\ &\Rightarrow(x-2)(x-3)=0=x^2-5x+6\qquad\square \end{align*} $$

Indirekter Beweis / Widerspruchsbeweis

• Idee: zeige die Aussage A$\Rightarrow$B durch Herleitung eines Widerspruches in der Negation von B
• Beispiel: $n=(\prod_{i=1}^tp_i)+1$, mit $p_1\ge2$, ist durch keine Zahl $p_i$ teilbar, für $t\in\mathbb{N}$ und $i=1,2,\dots$

Unsere Aussagen sind hier die folgenden:

• A := $n:=p_1\cdot p_2\cdot\dots+1$ / n ist definiert als ein Produkt von Zahlen + 1
• B := $p_1\nmid n$ / keines dieser $p_i$ teilt $n$

Angenommen $n$ ist durch die Definition gegeben und es existiert ein $p_i$ das $n$ teilt

$\Rightarrow\quad p_i\mid\prod p_i$ und aber auch $p_i\mid n-\prod p_i=1$

$\Rightarrow\quad p_i\mid1\quad\Rightarrow\quad p_i=1<2$ ↯

Es existiert nur eine Zahl die $n$ teilen kann: $1$. Die $1$ kann aber kein $p_i$ sein, da $p_i\ge2$ gilt. $\square$

Indirekter Beweis / Kontraposition

• Idee: zeige, das aus der Negation von B die Negation von A folgt, statt aus A folgt B
• Beispiel: zeige, das $a^3$ gerade ist genau dann, wenn $a$ gerade ist

Unsere Aussage sind hier die folgenden:

• A := $a$ ist gerade
• B := $a^3$ ist gerade

“$\Rightarrow$” sei $a\in\mathbb{N}$ gerade ($a=2k$)

$$ \begin{align*} \Leftrightarrow\, a&=2k \mid k\in\mathbb{N} \\ a^3&=(2k)^k \\ &=2^3k^3=8k^3 \\ &=\underbrace{2}_{\text{immer gerade}}\cdot(4k^3) \end{align*} $$

“$\Leftarrow$” sei $a\in\mathbb{N}$ ungerade ($a=2k+1$)

$$ \begin{align*} \Leftrightarrow\, a&=2k+1 \mid k\in\mathbb{N} \\ a^3&=(2k+1)^3 \\ &=(4k^2+4k+1)(2k+1) \\ &=8k^3+12k^2+6k+1=\underbrace{2(4k^3+6k^2+3k)}_{\text{immer gerade}}\underbrace{+1}_{\text{immer ungerade}} \end {align*} $$

Weil die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl immer ungerade ist (auch das müsste man hier noch beweisen, wir sparen uns das aber) ist $a^3$ ungerade für ungerade $a$. Wir können also darauf schließen, dass $a^3$ gerade ist für gerade $a$. $\square$

Last edited: 17.10.2026