Woche 2, Komplexe Zahlen

Oct 16, 2026

Die komplexen Zahlen werden mit neuen Rechenregeln und Notationen weiter aufgebaut. Hier führen wir außerdem Polarkoordinaten ein und ein Kommilitone der anscheinend wärend der ersten Vorlesung der Woche noch ausnüchtert, fängt mit unserem Professor eine Diskussion über die Notwendigkeit des letzte Woche neu eingeführten Zahlenraums für sein persönliches Leben.

Der Professor gibt sein Bestes zum Gehirn meines belöffelten Kommilitonen durchzudringen.

1.1 Komplexe Zahlen

Neben den obigen Rechenregeln können wir tatsächlich aber noch mehr Konzepte der Addition und Multiplikation aus den reellen Zahlen übernehmen. Zum einen gibt es das Konzept des neutralen Elementes, das nichts an einer Gleichung einer Rechenart ändert, und das Konzept des Inversen das, verknüpft mit dem Original das neutrale Element ergibt. Klingt erstmal deutlich komplizierter als es tatsächlich ist:

Lemma 1.4a: Neutrales Element

Als das neutrale Element einer Rechenoperation bezeichnen wir das Element, das, mit verknüpft mit der jeweiliges Rechenoperation, nichts am Ergebnis der Gleichung ändert.

Da wir die reelle Zahl $0$ auch ale komplexe Zahl $0=0+0i$ schreiben können, ist $0$ auch neutrale Element der Addition in den komplexen Zahlen. Analoges gilt für die Multiplikation.

Beweis: sei $z\in\mathbb{C}$

$$ z+0=(a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(bi+0i)=a+bi\qquad\square $$$$ z\cdot1=(a+bi)\cdot(1+0i)=a+0ai+1bi+0bi=a+bi\qquad\square $$

Lemma 1.4b: Inverses Element

Als das Inverse Element einer Rechenoperation bezeichen wir ein Element, mit dem, über die jeweilige Rechenoperation, verknüpft eine Gleichung das neutrale Element ergibt.

Das dasselbe Prinzip von Inversen auch in den komplexen Zahlen funktioniert sieht man nicht sofort, wird aber irgendwo schnell klar, wenn man Subtraktion als Addition mit gedrehtem Vorzeichen und Division als Multiplikation mit dem Reziprokes ansieht.

Das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl $z$ schreiben wir als $z^{-1}$.

Beweis: sei $z\in\mathbb{C}$

$$ z-z=(a+bi)-(a+bi)=a+bi-a-bi=0\qquad\square $$$$ z\cdot\frac1z=(a+bi)\cdot\frac1{a+bi}=1\qquad\square $$

Satz 1.5: Die Komplexen Zahlen bilden einen Körper

Die Komplexen Zahlen $(\mathbb{C},+,\cdot)$ bilden einen Körper.

Das muss ihnen jetzt erstmal noch nichts sage. Dieses Thema behandeln wir dann im 2. Semester in der linearen Algebra. Bis dahin können Sie sich aber schon mal merken: rauszufinden, das ein Zahlenraum ein Körper ist, ist für Mathematiker das absolute non plus ultra.

Bemerkung: Was ist ein Körper?

Ein Körper ist eine mathematische, bzw. eine algebraische, Struktur über eine Menge und zwei zweistellige Operationen auf dieser Menge. Diese zweistelligen Operationen werden zur Verallgemeinerung oft einfach als “Addition” und “Multiplikation” bezeichnet: $(K,+,\cdot)$ für eine Menge $K$.

Damit ein solches Tupel als Körper bezeichnet werden kann, muss es folgende Voraussetzungen erfüllen:

  1. $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element $0$,
    1. für $a,b\in K$ muss auch $a+b\in K$ gelten,
    2. Assoziativgesetz gilt,
    3. Kommutativgesetz gilt,
    4. Neutrales und Inverses Element existieren
  2. $(K\setminus\{0\},\cdot)$ ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element $1$,
  3. Distributivgesetz gilt.

Und siehe da: wir haben gezeigt (1) die Addition komplexer Zahlen liefert Komplexe Zahlen, wobei das Assoziativ- und Kommutativgesetz gelten bei der das neutrale und inverse Element existieren, (2) mit den gleichen Bedingeungen gezeigt und (3) die Distributivität nachgewiesen.

Bemerkung 1.6: Unterkörper

Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sein ein Unterkörper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$.

Bemerkung 1.7: Fundamentalsatz der Algebra

Die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$, für $a,b,c\in\mathbb{C}$, hat in den komplexen Zahlen immer zwei Lösungen. Ein nicht-konstantes Polynom $n$-ten Grades hat dabei immer $n$ Lösungen.

Bemerkung: Konjungierte komplexe Zahl

Die Konjunktion einer komplexen Zahl $z$ wird geschrieben als $\overline z:=a-ib$.

Bemerkung: Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag/die Norm einer komplexen Zahl $z$ ist gegeben als $|z|=\sqrt{z\cdot\overline z}=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$.

Angenommen wir haben $z=\frac32+\frac32i$, dann bestimmen wir $|z|=\sqrt{1.5^2+1.5^2}=\sqrt{\frac94+\frac94}=\frac{\sqrt{18}}2$. Warum wir einfach so den “Pythagoras” benutzen können sehen wir, wenn wir die komplexe Zahl im zweidimensionalen Raum darstellen – i.e. in ein Koordinatensystem eintragen. Dann können wir die Strecke zwischen Koordinatenursprung und $z$ als Vektor $\vec{z}$ interpretieren und dementsprechend den Betrag – i.e. Abstand von Null – wie bei einem Vektor berechnen.

Satz 1.8: Sonstige Rechenregeln für komplexe Zahlen

Es gelten folgende Rechenregeln für komplexe Zahlen $z,z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$:

  1. $\overline{\overline{z}}=z$,
  2. $\overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2$,
  3. $\overline{z_1z_2}=\overline z_1\overline z_2$,
  4. $z=\overline z$ genau dann wenn $Im(z)=0$,
  5. $z=\overline{-z}$ genau dann wenn $Re(z)=0$,
  6. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}$, und
  7. $|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$.

Beweis zu 1: sei $z$ eine komplexe Zahl

$$ \overline{\overline{z}}=\overline{a-ib}=a+ib=z\qquad\square $$

Beweis zu 2: seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$

$$ \begin{align*} \overline{z_1+z_2}&=\overline{(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)} \\ &=(a_1-ib_1)+(a_2+ib_2) \\ &=\overline{a_1+ib_1}+\overline{a_2+ib_2} \\ &=\overline{z_1}+\overline{z_2}\qquad\square \end{align*} $$

Beweis zu 3: seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$

$$ \begin{align*} \overline{z_1}\cdot\overline{z_2}&=(a_1-ib_1)(a_2-ib_2) \\ &=a_1a_2-a_1b_2i-a_2b_1i^2+b_1b_2i=a_1a_2-a_1b_2i-a_2b_1i-b_1b_2 &=(a_1a_2+b_1b_2)-i(a_1b_2+a_2b_1)=\overline{z_1\cdot z_2}\qquad\square \end{align*} $$

Beweis zu 4: sei $z$ eine komplexe Zahl

Beweis zu 5: sei $z$ eine komplexe Zahl

Beweis zu 6: seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$

$$ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2} \\ &=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\cdot\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}} \\ &=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\cdot\frac{a_2-ib_2}{a_2-ib_2} \\ &=\frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{z_2\overline{z_2}} \\ &=\frac{z_q\overline{z_2}}{|z_2|^2}\qquad\square \end{align*} $$

Beweis zu 7: seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$

$$ \begin{align*} |z_1\cdot z_2|&=|(a_1+ib_1)(a_2+ib_2)| \\ &=|a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i-b_1b_2| \\ &=\sqrt{Re(z_1z_2)^2+Im(z_1z_2)} \\ &=\sqrt{(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2} \\ &=\sqrt{a_1^2a_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + b_1^2b_2^2 + a_1^2b_2^2 + 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2} \\ &=\sqrt{(a_1a_2)^2+(b_1b_2^2)+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2} \\ &=\sqrt{(a_1a_2)^2+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2+(b_1b_2)^2} \\ &=\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)} \\ &=\sqrt{(a_1^2+b_1^2)}\cdot\sqrt{(a_2^2+b_2^2)} \\ &=|z_1|\cdot |z_2|\qquad\square \end{align*} $$

1.1.1 Polarkoordinaten

Wir haben schon festgestellt das wir die komplexen Zahlen in der gaußschen Zahlenebene darstellen können, indem wir den Realteil auf der x-Achse, und den Imaginärteil auf der y-Achse abbilden.

Damit kann für jede komplexe Zahl $z$ auch ein Winkel $\varphi$ bestimmt werden, den wir das Argument von $z$ nennen.

Wir schreiben $arg(z)=\varphi$, wobei $\varphi\in(-\pi,\pi]$ gilt.

Der Winkel $\varphi$ kann, durch den Zusammenhang mit dem Einheitskreis, durch $\arctan\frac b a$, mit $a=Re(z)$ und $Im(z)=b$, bestimmt werden.

Wir können komplexe Zahlen also auch einfach nur durch ihre Länge $r=|z|$ und den Winkel am Pol $\varphi$ (also bei (0,0) im Koordinatensystem) darstellen als

$$ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi). $$

Wir nehmen außerdem folgende Rechenregeln für zwei Polarkoordinaten an:

Polarkoordinaten und ihre Rechenregeln

Seien zwei komplexe Zahlen über ihre Polarkoordinaten gegeben:

$$ z_1:arg(z_1)=\varphi_1,|z_1|=r_1 \\ z_2:arg(z_2)=\varphi_2,|z_2|=r_2, $$

dann gelten die folgenden Regeln:

  1. $z_1z_2=r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$,
  2. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$

Die obigen Rechenregeln werden für den Moment als gegeben betrachtet. Bewiesen werden sie, scheinbar, über Additionstheoreme im 3. Semester.

Satz: Moivre’sche Formel

Aus den beiden obigen Rechenregeln lässt sich die Moivre’sche Formel für Potenzen von komplexen Zahlen ableiten:

$$ z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)). $$

Magie mit der e-Funktion

Für uns ist die eulersche Zahl eigentlich nur noch eine Konstante im Taschenrechner. Dahinter steckt allerdings eine Reihe mit der sich außerdem die e-Funktion bilden lässt:

$$ e(x)=e^x:=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!}. $$

Dabei scheinen auch der Sinus und Kosinus mit der e-Funktion zusammenzusängen, genaueres dazu folgt aber erst im zweiten Semester:

$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots-\dots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+\dots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. $$

Genauer werden wir anscheinend in den kommenden Semestern festellen, dass sich über die Reihen von e-Funktion, Kosinus und Sinus die Euleridentität zeigen lässt. Setzt man in die e-Funktion die imaginäre Einheit $i$ ein, nutzt $i^2=-1$ und trennt die Terme nach dem Auftreten von $i$, so erhält man die Euleridentität

$$ re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=z. $$

Beispiel

Dem Fundamentalsatz der Algebra nach zu urteilen, sollte die Gleichung $f(x)=x^5-32$ genau $5$ Lösungen haben. Betrachten wir nur $x\in\mathbb{R}$ finden wir allerdings nur $x_1=2$.

Nehmen wir jetzt aber $x\in\mathbb{C}$ an, können wir die Gleichung umformulieren zu

$$ \begin{align*} x^5&=32 \\ r^5(\cos5\varphi+i\sin5\varphi)&=32+0i \\ r^5\cos5\varphi+r^5i\sin5\varphi&=32+0i. \end{align*} $$

Jetzt müssen wir nur noch die jeweiligen Real- und Imaginarteile angleichen.

$$ \begin{align*} Re(z)=32&=r^5\cos5\varphi \\ &=|z|^5\cos5\varphi\\ &=32^5\cos5\varphi \\ &\qquad\Rightarrow\quad\cos5\varphi=1 \\ &\qquad\Rightarrow\quad5\varphi\overset{*}{=}2k\pi\mid k\in\mathbb{R} \\ &\qquad\Rightarrow\quad\varphi=\frac25k\pi \end{align*} $$

Da $r$ den Kosinusausdruck schon auf $32$ skaliert, muss $\cos5\varphi$ zwangsweise $1$ sein. Der Kosinus wird grundsätzlich nur bei einem “geraden Vielfachen” von $\pi$ eins, also können wir die * Gleichung annehmen. Damit können wir dann die Periode darunter bestimmen.

$$ \begin{align*} Im(z)=0&=r^5\sin5\varphi \\ &=32^5\sin5\varphi \\ &\qquad\Rightarrow\quad\sin5\varphi=0 \\ &\qquad\Rightarrow\quad5\varphi\overset{*}{=}k\pi\mid k\in\mathbb{R} \\ &\qquad\Rightarrow\quad\varphi=\frac15k\pi \end{align*} $$

Um die $0i$ von $z$ treffen zu können muss $\sin5\varphi$ ebenfalls $0$ werden. Nun wird der Sinus grundsätzlich bei jedem beliebigen Vielfachen von $\pi$ null. Deswegen können wir wieder die * Gleichung annehmen.

Wir sehen, dass die Periode vom Sinus alle Vielfachen von $\pi$ zulässt, wärend Kosinus nach unseren Vorgaben nur “gerade Vielfach” zulässt. Weil aber alle “geraden Vielfachen” in allen Vielfachen von $\pi$ enthalten sind, nehmen wir die über den Kosinus bestimmte Periode an und arbeiten damit weitern: $\varphi=\frac25k\pi$.

Mit $r=2$ und $\varphi_1=0\pi=0°$ müssen wir jetzt im Intervall $0°<\varphi\le360°$, i.e. $0<\varphi\le2\pi$, noch vier weitere Winkel finden nach unserer Periode finden.

Last edited: 16.10.2026

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