Die komplexen Zahlen werden eigentlich erst im zweiten Semester thematisiert, bekommen aber hier schonmal auf Wunsch einzelner Herren aus der Elektrotechnik einen kleinen Einschub.
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ werden lediglich mit einigen Rechenregeln eingeführt.
Bisschen zeitig so ein Thema, right? Leider haben manche bemitleidenswerte Seelen in diesem Kurs E-Technik belegen und der zuständige Dozent braucht komplexe Zahlen, also machen wir komplexe Zahlen.
Vielleicht kommt jetzt die Frage warum wir noch einen Zahlenbereich brauchen, und da sagte unser Dozent etwas in die Richtung von
$$ax+b=c$$Naja, gucken Sie sich doch mal die folgenden Gleichungen an und überlegen Sie sich mit welchen Zahlenbereichen diese lösbar wären.
Und das nur weil wir im letzten Fall die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müssen.
Der Mathematiker Bombelli ist über das gleiche Problem, nur bei kubischen Gleichungen, gestolpert. Er muss die Annahme, das negative Wurzeln nicht lösbar sind, als ganz schönen Humbuck angesehen haben, denn er entschied sich kurzerhand einfach formal mit dem Ausdruck $\sqrt{-1}$ weiterzurechenen. Und siehe da, am Ende hoben sich die $\sqrt{-1}$ Teile Weg und übrig blieb eine reelle Lösung. Euler entwickelte die Idee später weiter und etablierte die imaginäre Einheit
$$i^2=-1.$$Die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ist gegeben durch $\mathbb{C}:=\{z=a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\}$. Für $z=a+bi$ heißt
Beispiel 1.1: Ist $z=5+7i$, so ist $Re(z)=5$ und $Im(z)=7$.
Seien $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$, dann gilt
Beweis zu 1: Seien $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$, dann lässt sich der Startausdruck so ausdrücken:
$$ \begin{align*} z_1+(z_2+z_3)&=(a_1+ib_1)+((a_2+ib_2)+(a_3+ib_3)) \\ &=(a_1+ib_1)+(a_2+a_3+ib_2+ib_3) \\ &\overset{*}{=}(a_1+ib_1)+(\underbrace{(a_2+a_3)}_{\in\mathbb{R}}+i\underbrace{(b_2+b_3)}_{\in\mathbb{R}}) \\ &=(a_1+(a_2+a_3))+(ib_1+i(b_2+b_3)) \\ &=((a_1+a_2)+a_3)+(i(b_1+b_2)+ib_3) \\ &=((a_1+ib_1)+(a_2+ib_2))+(a_3+ib_3)=(z_1+z_2)+z_3\qquad\square \end{align*} $$Beweis zu 2: Seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, dann können wir den Start so formulieren:
$$ \begin{align*} z_1+z_2&=(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2) \\ &=(-ib_1+ib_1+a_1+ib_1)+(a_2+ib_2) \\ &=(-ib_1+(ib_1+a_1)+ib_1)+(a_2+ib_2) \\ &=(ib_1+a_1)+(a_2+ib_2) \\ &=ib_1+(a_1+a_2)+ib_2 \\ &=ib_1+(a_2+a_1)+ib_2 \\ &=ib_1-ib_2+ib_2+(a_2+a_1)+ib_2-ib_1+ib_1 \\ &=ib_2+(a_2+a_1)+ib_1 \\ &=(ib_2+a_2)+(ib_1+a_1) = (a_2+ib_2)+(a_1+ib_1) \\ &=z_2+z_1\qquad\square \end{align*} $$Seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, dann gilt
Beweis zu 1: Wurde schon als Nebenprodukt im Beweis zu Satz 1.2.1 gezeigt. Die Stelle ist mit “*” markiert.
Beweis zu 2: Seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$
$$ \begin{align*} z_1z_2&=(a_1+ib_1)(a_2+ib_2) \\ &=a_1a_2+ia_1b_2+ia_2b_1+i^2b_1b_2 \\ &=a_1a_2+i(a_1b_2+a_2b_1)-b_1b_2 \\ &=\underbrace{(a_1a_2-b_1b_2)}_{\in\mathbb{R}}+i(\underbrace{a_1b_2+a_2b_1}_{\in\mathbb{R}})\in\mathbb{C}.\qquad\square \end{align*} $$Die Tatsache das die komplexen Zahlen letztlich auch nur aus zwei rellen Zahlen und einer imaginären Einheit zusammengebastelt werden, lässt und außerdem darauf schließen, dass auch für die Multiplikation ähnliche Rechenregeln gelten könnten, wie wir sie schon kennen.
Die komplexen Zahlen erfüllen mit obigen Rechenregeln das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Seien dazu $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$, dann gelten
Verwenden wir 1 und 2 dieses Lemmas, können wir auch die Distributivität der komplexen Zahlen zeigen:
Beweis zu 1: seien $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$
$$ \begin{align*} z_1(z_2\cdot z_3)&=(a_1+ib_1)((a_2+ib_2)(a_3+ib_3)) \\ &=(a_1+ib_1)(a_2a_3+a_2b_3i+a_3b_2i+b_2b_3i^2)=(a_1+ib_1)(a_2a_3+a_2b_3i+a_3b_2i-b_2b_3) \\ &=(a_1+ib_1)((a_2a_3-b_2b_3)+i(a_2b_3+a_3b_2)) \\ &=a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 + a_1a_2b_3i + a_1a_3b_2i + b_1a_2a_3i - b_1b_2b_3i + b_1a_2b_3i^2 + b_1a_3b_2i^2 \\ &=a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 + a_1a_2b_3i + a_1b_2a_3i + b_1a_2a_3i - b_1b_2b_3i - b_1a_2b_3 - b_1b_2a_3 \\ &=(a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3 - b_1b_2a_3) + i(a_1a_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3 - b_1b_2b_3) \\ &=a_3(a_1a_2-b_1b_2)+b_3(a_1b_2-b_1a_2)+ia_3(a_1b_2+b_1a_2)+ib_3(a_1a_2-b_1b_2) \\ &=\underbrace{a_3(a_1a_2-b_1b_2)+ib_3(a_1a_2-b_1b_2)}_{\in\mathbb{C}}+\underbrace{b_3(a_1b_2-b_1a_2)+ia_3(a_1b_2+b_1a_2)}_{\in\mathbb{C}} \\ &=(a_3+ib_3)(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_3+ib_3)(a_1b_2+b_1a_2) \\ &=((a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i)(a_3+ib_3) \\ &=(a_1a_2-b_1b_2+a_1b_2i+b_1a_2i)(a_3+b_3i) \\ &=((a_1+b_1i)(a_2+b_2i))(a_3b_3i)=(z_1\cdot z_2)z_3\qquad\square \end{align*} $$Beweis zu 2: seien $z_1,z_2\in\mathbb{C}$
$$ \begin{align*} z_1\cdot z_2&=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i) \\ &=a_1a_2+a_1b_2i+b_1a_2i+b_1b_2i^2 \qquad\mid\text{KG+} \\ &=a_1a_2+ib_1a_2+ia_1b_2+b_1b_2i^2 \qquad\mid\text{DG}\mathbb{R} \\ &=a_2(a_1+ib_1)+ib_2(a_1+ib_1) \\ &=(a_2+ib_2)(a_1+ib_1)=z_2z\cdot z_1\qquad\square \end{align*} $$Beweis zu 3: seien $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$
$$ \begin{align*} (z_1+z_2)z_3&=((a_1+b_1i)+(a_2+b_2i))(a_3+b_3i) \\ &=(a_1+a_2+ib_1+ib_2)(a_3+ib_3) \\ &=a_1a_3 + a_2a_3 + ia_3b_1 + ia_3b_2 + ia_1b_3 + ia_2b_3 + i^2b_1b_3 + i^2b_2b_3 \\ &=a_1a_3 + a_2a_3 + ia_3b_1 + ia_3b_2 + ia_1b_3 + ia_2b_3 - b_1b_3 - b_2b_3 \\ &=(a_1a_3-b_1b_3+ia_3b_1+ia_1b_3)+(a_2a_3-b_2b_3+ia_3b_2+ia_2b_3) \\ &=((a_1a_3-b_1b_3) + i(a_3b_1+a_1b_3))+((a_2a_3-b_2b_3) + i(a_3b_2+a_2b_3)) \\ &=z_1z_3+z_2z_3\qquad\square \end{align*} $$Last edited: 12.10.2026