Woche 03, Homo oeconomicus

Oct 23, 2026

Wie lassen sich menschliche Präferenzen mathematisch beschreiben und unter welchen Voraussetzungen können wir sie durch Zahlen darstellen?

1.2 Homo oeconomicus

Der Homo oeconomicus beschreibt in der ökonomischen Theorie einen idealisierten Modelltyp, für den folgende Annahmen gelten:

• handelt zielgerichtet & konsistent,
• verfügt über vollständige Informationen,
• kennt mögliche Ergenisse und ihre Wahrscheinlichkeiten,
• verarbeitet unbegrnzt Informationen.

Needless to say, mich beschreibt das nich.. 😅

Rationale Entscheidungen

Die Entscheidungstheorie untersucht, wie Entscheidungen getroffen werden und wie Alternativen bewertet werden. In der Vorlesung unterscheiden wir zwischen

• präskriptiv/normativ: wie vorgehen um Ziele möglichst gut zu erreichen,
• deskriptiv: wie treffen Menschen tatsächlich Entscheidungen.

Präferenzen als binäre Relationen

Eine Präferenz beschreibt, wie ein Entscheider verschiedene Ergebnisse bewertet. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge $E$. Darauf wird eine binäre Relation $R$ auf $E$ als Teilmenge des kartesischen Produktes $E\times E$ definiert:

$$ R\subset E\times E. $$

Binäre Relationen sind aus sowohl Mathematik IT-1, als auch W-1, noch nicht bekannt.

Einschub Relationen

Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen.

1. Eine Relation zwischen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge $R\subset A\times B$,
2. Eine Relation auf $A$ ist eine Teilmenge $R\subset A\times A$,
3. Eine binäre Relation beschreibt eine zweistellige Relation.

Falls ein geordnetes Paar $(e_1,e_2)$ zur Relation $R$ gehören, drücken wir das mit folgender Schreibweise aus

$$ e_1Re_2. $$

Bei einer schwachen Präferenz wird $e_1$ als mindestens genau so gut wie $e_2$ bewertet. Eine schwache Ordnung erfüllt Vollständigkeit, Reflexivität und Transitivität.

$$ e_1\succeq e_2. $$

Relationen werden für den Zweck dieser Vorlesung auf drei Eigenschaften reduziert:

• Vollständigkeit: alle Paare von Ergebnissen sind vergleichbar. Beide Richtungen können gelten, falls der Entscheider indefferent ist $$ \forall e_1,e_2\in E: e_1\succeq e_2\lor e_1\succeq e_2, $$
• Reflexivität: Jedes Ergebnis ist mindestens genau so gut wie es selbst $$ \forall e\in E:e\succeq e, $$
• Transitivität: Die Präferenzordnung ist widerspruchsfrei hinsichtlich der transitiven Vergleiche $$ \forall e_1,e_2,e_3\in E: (e_1\succeq e_2\land e_2\succeq e_3)\Rightarrow e_1\succeq e_3. $$

Indifferenz und strikte Präferenz

Indifferenz liegt vor, wenn zwei Ergebnisse wechselseitig als mindestent genau so gut bewertet werden

$$ e_1~e_2\Longleftrightarrow e_1\succeq e_2\land e_2\succeq e_1. $$

Strikte Präferenz liegt vor, wenn $e_1$ mindestens so gut wie $e_2$ ist, aber nicht umgekehrt

$$ e_1\succ e_2\Longleftrightarrow e_1\succeq e_2\land\lnot(e_2\succeq e_2). $$

Ordinale Nutzensfunktion

Eine ordinale (ordinal - Reihenfolge der Nutzwerte ist relevant) Nutzensfunktion bildet Präferenzen aus reelle Zahlen ab

$$ u:R\to\mathbb{R} $$

und repräsentiert genau dann eine Präferenzrelation, wenn gilt

$$ e_1\succeq e_2\Longleftrightarrow u(e_1)\ge u(e_2.) $$

• höherer Nutzwert: das Ergebnis wird besser bewertet,
• gleicher Nutzwert: die Ergebnisse sind indifferent,
• niedrigerer Nutzwert: das Ergebnis wird schlechter bewertet.

Die Differenz zwischen zwei Nutzwerten kann bei ordinaler Darstellung nicht als Maß für die Stärke eines subjektiven Unterschiedes gewertet werden.

Eine strengwachsende Transformation der Nutzwerte erhält eine Rangordnung. Da $2u(e)+1$ streng monoton wachsend ist, können alle Vergleiche zusammengefasst werden als $v(e)=2u(e)+1$.

Existenz von Nutzensfunktionen

Grundsätzlich können nicht alle Präferenzrelationen durch eine Nutzensfunktion abgebildet werden. Das hängt davon ab, wie viele Ergebnisse betrachtet werden.

• endliche Ergegnismenge: eine schwache Ordnung genügt für die Existenz einer ordinalen Nutzensfunktion,
• unendliche Ergebnismenge: hier können zusätzliche Bedingungen notwendig sein.

Voraussetzungen

Zum einen ist die Schwache Ordnung eine Voraussetzung für die Existenz einer Nutzensfunktion. Außerdem betrachten wir die Stetigkeit als eine weitere Anforderung:

• kleine Veränderungen bei Ergebnissen lösen keine “sprunghaften” Veränderungen bei Präferenzen aus
• für ein beliebiges aber festes Ergebnis ist die Menge der mindestens/höchstens genau so guten Ergebnisse abgeschlossen

Last edited: 25.10.2026